Galois cohomology of p-adic fields and (phi,tau)-modules
Cohomologie galoisienne des corps p-adiques et (phi,tau)-modules
Résumé
Let p be a prime number and K a complete discrete valuation field of characteristic 0, with perfect residue field of characteristic p. The goal of this thesis is to build complexes, defined in terms of invariants attached to a p-adic representation of the absolute Galois group of K, and whose homology is isomorphic to the Galois cohomology of the representation. In his thesis, Herr constructed such a three-term complex using the (phi,Gamma)-module associated to the representation (defined from the cyclotomic extension of K). For many questions, however, it is useful to work with a Breuil-Kisin extension, obtained from K by adding to it a compatible system of p^n-th roots of a uniformizer of K. An essential difference (and a notable difficulty) compared to the cyclotomic theory is that the extension obtained is not Galois. A natural solution, provided by Tavares Ribeiro in his thesis, is to work with the composite extension of the cyclotomic extension with a Breuil-Kisin extension and the corresponding Galois group, which provides a four-term complex. Since then, Caruso has developed the theory of (phi,tau)-modules, which are to a Breuil-Kisin extension what (phi,Gamma)-modules are to the cyclotomic extension: they provide a complete classification of p-adic representations (integral or not). Our first result is the construction of a three-term complex, defined in terms of the (phi,tau)-module of a p-adic representation, and whose homology is isomorphic to the Galois cohomology of the representation. We prove that it refines that of Tavares Ribeiro in the finite residue field case, by building a quasi-isomorphism between the two. Then, we construct an operator psi (analogous to the one existing in the cyclotomic theory), and show that in our complex, we can substitute the Frobenius operator with it. Using the overconvergence of (phi,tau)-modules (proved by Gao-Poyeton, and which we refine for integral representations), we define overconvergent versions of our complexes, and prove that they calculate the correct H^0 and H^1. Moreover, using Poyeton's results, we construct a complex over the Robba ring, simpler than the previous ones (the tau operator is replaced by a derivation), and whose H^0 and H^1 are isomorphic to the inductive limits of the Galois cohomology H^0 and H^1 along a Breuil-Kisin extension. Finally, we apply the above to the computation of Galois cohomology of the Tate modules of a p-divisible group over the ring of integers of K, in terms of the associated Breuil-Kisin module.
Soient p un nombre premier et K un corps de valuation discrète de caractéristique 0 complet, à corps résiduel parfait de caractéristique p. Le but de cette thèse est de construire des complexes, définis en termes d'invariants attachés à une représentation p-adique du groupe de Galois absolu de K, et dont l'homologie est isomorphe à la cohomologie galoisienne de la représentation. Dans sa thèse, Herr a construit un tel complexe, à trois termes, à partir du (phi,Gamma)-module associé à la représentation (défini à partir de l'extension cyclotomique de K). Pour de nombreuses questions, il est cependant utile de travailler avec une extension de Breuil-Kisin, obtenue à partir de K en lui adjoignant un système compatible de racines p^n-ièmes d'une uniformisante de K. Une différence essentielle (et une difficulté notable) par rapport à la théorie cyclotomique est que l'extension obtenue n'est pas galoisienne. Une solution naturelle, apportée par Tavares Ribeiro dans sa thèse, est de travailler avec l'extension composée de l'extension cyclotomique avec une extension de Breuil-Kisin et le groupe de Galois afférent, ce qui fournit un complexe à quatre termes. Depuis, Caruso a développé la théorie des (phi,tau)-modules, qui sont à une extension de Breuil-Kisin ce que les (phi,Gamma)-modules sont à l'extension cyclotomique : ils fournissent une classification complète des représentations p-adiques (entières ou non). Notre premier résultat est la construction d'un complexe à trois termes, défini à partir du (phi,tau)-module d'une représentation p-adique, et dont l'homologie est isomorphe à la cohomologie galoisienne de la représentation. Nous prouvons qu'il raffine celui de Tavares Ribeiro lorsque le corps résiduel est fini, en construisant un quasi-isomorphisme entre les deux. Ensuite, nous construisons un opérateur psi (analogue à celui existant dans la théorie cyclotomique), et montrons que dans notre complexe, on peut le substituer à l'opérateur de Frobenius. En s'appuyant sur la surconvergence des (phi,tau)-modules (démontrée par Gao-Poyeton, et que nous raffinons pour les représentations entières), nous définissons des versions surconvergentes de nos complexes, et prouvons qu'ils calculent les bons H^0 et H^1. Par ailleurs, en utilisant des résultats de Poyeton, nous construisons un complexe sur l'anneau de Robba, plus simple que les précédents (l'opérateur tau est remplacé par une dérivation), et dont le H^0 et le H^1 sont isomorphes à la limite inductive des H^0 et H^1 galoisiens le long d'une extension de Breuil-Kisin. Enfin, nous appliquons ce qui précède au calcul de la cohomologie galoisienne du module de Tate d'un groupe p-divisible sur l'anneau des entiers de K, en termes du module de Breuil-Kisin associé.
Origine : Version validée par le jury (STAR)